問題
第 問
正の整数に対して、
は整数ではで割り切れない
の形に書いたとき、と定める。例えば、である。
は整数で、次の条件を満たすとする。
はで割り切れない。
このようなについて
とするとき、
の最大値を求めよ。また、の最大値を与えるようなをすべて求めよ。
解答
より、を整数とすると、
(ア)のとき、
(イ)のとき、
(ウ)のとき、
より、を整数とすると、
(エ)のとき、
(オ)のとき、
以上のことから、余りに注目して、余りの合計がで割り切れるとき、がで割り切れるから、(イ)と(エ)または(ア)と(オ)のときに限ることがわかる。
(イ)と(エ)のとき、だから、
ここで、となり、これはでは割り切れない。
よって、として、だから、
(ア)と(オ)のとき、だから、
ここで、だから、とおくと、
がでは割り切れるのは、からだけだから、これを代入して、
がでは割り切れるのは、(ア)~(ウ)を参考にして、がで割って余る数のときだから、より、
よって、このとき、と表せるから、
以上より、の最大値は、
このとき、だから、
ブログ全体の目次(過去の記事の一覧)