問題
第 問
を座標とする空間において、平面内の曲線
を軸のまわりに回転させるとき、この曲線が通過した部分よりなる図形をとする。このをさらに軸のまわりに回転させるとき、が通過した部分よりなる立体をとする。このとき、の体積を求めよ。
解答
はで、
だから、単調増加である。よって、
とすると、
を平面で切った切り口は円となり、
と表せる。これは、で成り立つから、図形の表す式は、
となる。の変化を考えると、ラッパのような形である。
(図は省略)
は平面について対称だから、で考える。
を平面で切った切り口を表す式は、
となる。この両辺をで微分すると、は定数だから、
より
この切り口はについて対称だから、とする。だから、
のとき、のとき、
のの部分の増減表は次のようになる。
(グラフは省略)
したがって、軸との距離、つまり点との距離をとすると、
最も遠いのは、で、
最も近いのは、で、
となり、この点間は連続である。
は積分定数を利用する。
以上より、を軸のまわりに回転させてできる立体の体積を求める。ただし、で計算して倍する。
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