問題
第 問
平面上の点が同一直線上にないとき、それらを頂点とする三角形の面積をで表す。また、が同一直線上にあるときは、とする。
を平面上の点とし、とする。この平面上の点が
を満たしながら動くとき、点の動きうる範囲の面積を求めよ。
解答
とすると、
(ア)
辺上に点をとり、とすると、
(イ)
(ウ)
と表せる。
のとき、点はの内部または周上にある。
だから、(ア)を満たさない。
のとき、点は半直線に挟まれた部分で、の外部にあるから、
より、四角形
だから、(ア)より、四角形
ここで、四角形
だから、
点が(イ)を満たしながら動くとき、点は(ウ)より、
を満たしながら動く。
(図は省略)
よって、点の動きうる範囲の面積は、
のとき、の延長上に点をとると、点は半直線に挟まれた部分にあるから、
より、
だから、(ア)より、
ここで、だから、
だから、より
点が(イ)を満たしながら動くとき、点は(ウ)より、
を満たしながら動く。
(図は省略)
よって、点の動きうる範囲の面積は、
同様にして、辺上、辺上に点をとっても、それぞれと同じの結果を得る。
以上から、平面上の点の動きうる範囲についてすべて検討したことになるから、その面積は次のようになる。
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