問題
第 問
以下の問いに答えよ。
を実数とする。の方程式
を考える。のとき、この方程式はの範囲に少なくとも個の解を持つことを示せ。
座標平面上の楕円
を考える。また、を満たす実数に対して、不等式
が表す領域をとする。内のすべての点が以下の条件を満たすような実数が存在することを示せ。また、そのようなの最大値を求めよ。
条件:上の点で、におけるの接線と直線が直交するようなものが少なくとも個ある。
解答
とすると、の範囲で連続である。
だから、
よって、に解をもつ。
さらに、のとき、に解をもち、
のとき、に解をもつ。
以上より、この方程式はの範囲に少なくとも個の解を持つ。 (証明終)
のとき、と表せる。におけるの接線の方程式は
(ア)
一方、のとき、とおくと、点は、次の式を満たしている。
よって、直線の方程式は
(イ)
(ア)と(イ)が直交するには、
(ウ)
のとき、(ウ)はとなる。
だから、上の点が個ある。
のとき、(ウ)を整理すると、
(エ)
となる。よって、より、とき、つまりのとき、の範囲に少なくとも個の解を持つ。
よって、はのすべてのについて条件を満たす。
したがって、だから、のとき、この条件を満たすようなが存在する。 (証明終)
次にの最大値を求める。
のとき、(エ)は、
これを解くと、の個である。
つまり、のとき、内のある点で条件を満たさない点が存在することになる。
以上より、の最大値はである。
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