百貨店から電話があった。 「ご注文の振袖のご準備ができました。〇日までにお越しになってお支払いをされますと、割引率がです。それ以降になりますと、になります。金額が金額だけに、の違いは大きいですよ。」 すぐに妻に伝えた。妻は電話して、いつまで…

問題 関数の最小値がであるとき，定数の値を求めよ。 解答 のとき で最小値となればよい。 より だから より のとき で最小値となればよい。 より これは を満たす。 のとき で最小値となればよい。 より だから これは を満たさない。 より ブログ全体の目…

問題 ある工場では製品を製造している。それらを製造するには原料が必要で，を製造するために必要な原料の量と，原料の在庫量は右の表の通りである。また，あたりの利益は，それぞれ万円，万円である。原料の在庫量の範囲で，最大の利益を得るには，をそれぞ…

問題 次の問いに答えよ。 直線に関して，点と対称な点の座標を求めよ。 において，点が直線上を動くとき，点の軌跡を求めよ。 解答 直線をとし，点の座標をとする。 直線はに垂直であるから ゆえに また，線分の中点は上にあるから ゆえに を連立してについ…

問題 円上の点におけるこの円の接線の方程式を求めよ。 解答 円の中心と接点を結ぶ直線の傾きは よって，求める接線の方程式は，この直線に垂直で，点を通るから ゆえに ブログ全体の目次（過去の記事の一覧）

ーーーーーーー下のほうに、少し意見を書いてみました。－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 問題 点を通り、円に接する直線の方程式と…

問題 中心が第象限にあって，軸，軸および直線に接する円の方程式を求めよ。 解答 中心が第象限にあって，軸，軸に接することから，求める円の半径をとすると、円の方程式は と表される。 とすると，直線が円に接するための条件は，円の中心と直線の距離が円…

問題 原点をつの頂点とする平行四辺形があり，直線は，直線はで表されている。このとき，平行四辺形の面積を求めよ。 解答 とする。はの交点で，これらを連立して解くと，その座標は また，を通り，に平行な直線の方程式は となる。はの交点で，これらを連立…

問題 直線が点で交わるならば，点は，一直線上にあることを証明せよ。 解答 とする。を連立して解くと，直線の交点は この点は直線上にあるから、 より また，点を通る直線の方程式は すなわち より，点は直線上にある。 よって，点は，一直線上にある。 （…

問題 次方程式が重解をもつとき，定数の値を求めよ。また，他の解を求めよ。 解答 が解であるから よって これを与方程式に代入して が解であることから，左辺はを因数にもつから とすると，もを解にもつから よって より また，をに代入して これを解くと，…

問題 のとき，次の問いに答えよ。 であることを示せ。 の結果を用いて，の値を求めよ。 解答 から 両辺を乗して 展開して整理すると とする。 をで割ると，商は，余りはだから を代入すると，から ブログ全体の目次（過去の記事の一覧）

問題 整式をで割ると余りが，で割ると余りがである。をで割ったときの余りを求めよ。 解答 を次式で割ったときの商を，余りをとすると，次の等式が成り立つ。 をで割った余りがだから，このときの商をとすると，次の等式が成り立つ。 ゆえに また，をで割っ…

問題 白玉個，赤玉個が入っている袋から，玉を個取り出し，それを袋に戻さないで，続いてもう個取り出す。番目に取り出した玉が赤玉であるとき，最初に取り出した玉も赤玉である確率を求めよ。 解答 番目に取り出した玉が赤玉である事象を、最初に取り出した…

問題 の人が，それぞれ，は枚の硬貨を，は枚の硬貨を持っている。個のさいころを投げて，奇数の目が出ると，がに枚の硬貨を渡し，偶数の目が出ると，がに枚の硬貨を渡すものとする。さいころを回続けて投げたとき，ともに，同じ枚数の硬貨を持っている確率を…

問題 の人の名刺が，枚ずつ別々の封筒に入れてある。この人が，それぞれ別々の封筒をつ選ぶとき，次の確率を求めよ。 人とも自分の名刺が入った封筒を選ぶ確率 人とも他人の名刺が入った封筒を選ぶ確率 解答 人の封筒の選び方は，全部で通りあり，どの場合も…

問題 個のさいころを同時に投げるとき，次の確率を求めよ。 出る目の最大値が以下である確率 出る目の最大値がである確率 解答 のどれかが出る確率だから 出る目の最大値が以下である確率は，のように考えて よって，出る目の最大値がであるのは，のうちを除…

問題 次の問いに答えよ。 人をつの部屋に入れる方法は何通りあるか。ただし，人全員が同じ部屋に入ってもよいものとする。 人をつの部屋に入れる方法は何通りあるか。ただし，各部屋には少なくとも人は入るものとする。 人をつのグループに分ける方法は何通…

問題 個の数字を重複なく使ってできる桁の数を，小さい方から順に並べる。 初めて以上になるのは，何番目か。 番目の数を求めよ。 解答 未満の数の数を求める。 千の位がである数は （通り） よって，番目 千の位がである数は （通り） これとより，初めて以…

問題 第 問 を座標とする空間において、平面内の曲線 を軸のまわりに回転させるとき、この曲線が通過した部分よりなる図形をとする。このをさらに軸のまわりに回転させるとき、が通過した部分よりなる立体をとする。このとき、の体積を求めよ。 解答 はで、 …

問題 第 問 縦個、横個のマス目のそれぞれにの数字を入れていく。このマス目の横の並びを行といい、縦の並びを列という。どの行にも、どの列にも同じ数字が回しか現れない入れ方は何通りあるか求めよ。下図はこのような入れ方の例である。 解答 行目をの順に…

問題 第 問 正の整数に対して、 は整数ではで割り切れない の形に書いたとき、と定める。例えば、である。 は整数で、次の条件を満たすとする。 はで割り切れない。 このようなについて とするとき、 の最大値を求めよ。また、の最大値を与えるようなをすべ…

問題 第 問 を正の整数とする。座標空間において、原点を中心とする半径の球面上の点が次の関係式を満たしている。 このとき、の値を求めよ。ただし、座標空間の点に対して、は、との内積を表す。 解答 題意より、（ア） また、 同様にして、（イ） （ウ） …

問題 第 問 を正の整数とする。はに関する方程式のつの解で、であるとする。 すべての正の整数に対し、は整数であり、さらに偶数であることを証明せよ。 極限を求めよ。 解答 解と係数の関係より、 「は整数であり、さらに偶数である。」 これを数学的帰納法…

問題 第 問 は実数で、とする。に関する方程式 はつの相異なる解をもち、それらは複素数平面上で一辺の長さがの正三角形の頂点となっているとする。このとき、とのつの解を求めよ。 解答（別解） をの解とすると、 をの共役複素数とすると、は実数だから、 …

問題 第 問 は実数で、とする。に関する方程式 はつの相異なる解をもち、それらは複素数平面上で一辺の長さがの正三角形の頂点となっているとする。このとき、とのつの解を求めよ。 解答（別解） をの解とすると、 をの共役複素数とすると、は実数だから、 …

問題 第 問 は実数で、とする。に関する方程式 はつの相異なる解をもち、それらは複素数平面上で一辺の長さがの正三角形の頂点となっているとする。このとき、とのつの解を求めよ。 解答 をの解とすると、 をの共役複素数とすると、は実数だから、 よって、…

問題 のとき，次の不等式が成り立つことを証明せよ。 解答 より，だから 各辺にをたすと、 よって、 （終） 両辺の平方の差を考えると ここで より よって で，よりだから （終） ブログ全体の目次（過去の記事の一覧）

問題 のとき，を小さい方から順に並べよ。 解答 より だから に代入して より よって よって，小さい方から順に ブログ全体の目次（過去の記事の一覧）

問題 次の等式，不等式を証明せよ。 解答 よって （証明終） だから、より よって （証明終） ブログ全体の目次（過去の記事の一覧）

問題 のとき，次の等式が成り立つことを証明せよ。 解答 とおくと これらより よって （終） ブログ全体の目次（過去の記事の一覧）